如何理解基变换和坐标变换的关系?
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发布时间：2024-10-24 09:49
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时间：3小时前
探讨基变换与坐标变换之间的关系，首先从数域P上的n维线性空间V入手。在选定一组基{αⁱ}后，V与P^n之间建立自然同构，将V中各向量与{αⁱ}坐标一一对应。
定义同构映射f{αⁱ}:V→P^n，这映射实质上将线性空间V映射至n维线性空间，它可分解为n个从V到P的线性函数，这些函数共同构成V*空间中的向量组。恰巧的是，此向量组正是{αⁱ}的对偶基。
由此得知，确定基后，取向量x在该基下的坐标，等同于使用基的对偶基作用于x。
进一步分析，线性映射从V到W的映射在W*到V*间诱导线性映射。当V内线性变换A将一组基{αⁱ}变换为{βⁱ}时，A自然在V*上诱导线性变换A*，将{βⁱ}*映射至{αⁱ}*。
因此，基变换与坐标变换方向相反，两者互为对偶，基变换通过改变基，间接影响坐标表达式，而坐标变换则直接修改坐标值。
