通俗易懂:基变换和坐标变换
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发布时间：2024-10-24 09:49
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时间：2024-11-18 14:37
本文旨在以直观的方式解释基变换和坐标变换的概念。理解这两个变换的前提是，你已经熟悉向量空间、基向量、线性组合和矩阵乘法等基本概念。
一、基变换
基变换是同一向量空间内，将一组基向量转变为另一组基向量的过程。在同一个空间中，基的改变不会影响原点的位置。一个点在不同基下的坐标不同，即在不同基下的线性组合不同。
例如，空间中的点在自然基下的坐标为(2,2)，但在另一组基下的坐标为(1,1)。这表示在不同的坐标参考系下，相同点的坐标会有所不同。
特别注意，若两组基不在同一向量空间中，则不能直接进行基变换。
如何进行基变换？首先，将基向量组分别视为矩阵M和N，其次找到一个矩阵P，使得M×P=N。矩阵P即为基变换矩阵。
基变换通常涉及矩阵乘法，且通常是右乘。
二、坐标变换
坐标变换是将空间内一点在某一基下的坐标转换至另一基下的坐标。可以通过基变换矩阵P实现这一转换。
有一种方法是使用基变换矩阵的逆矩阵进行坐标变换。具体来说，若要将点x在基M下的坐标转换至基N下，则需要将点x左乘基M的逆矩阵。
另一种方法是直接使用基变换矩阵P。若要将点x在基M下的坐标转换至基N下，则需要将点x左乘基变换矩阵P的逆。
三、总结
基变换涉及找到一个基变换矩阵P，使得原基向量组在该矩阵作用下转变为另一基向量组。坐标变换则是利用基变换矩阵的逆实现坐标转换。过渡矩阵必为可逆矩阵，这使得我们能够在不同基之间进行灵活的转换。
