已知函数f(x)=(3x2-6x+6)ex-x3.(1)求函数f(x)的单调区间及极值;(2)若...
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发布时间：2024-10-24 08:18
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时间：2024-10-25 01:37
（1）由于函数f（x）=（3x2-6x+6）ex-x3．
则f′（x）=（3x2-6x+6+6x+6）ex-3x2=3x2（ex-1），
∴当x＞0时，f′（x）＞0；当x＜0时，f′（x）＜0．
则函数f（x）的单调增区间是（0，+∞），减区间是（-∞，0）．
所以f（x）在x=0处取得极小值f（0）=6，无极大值；
（2）∵f（x1）=f（x2），且满足x1≠x2，由（1）可知x1，x2异号．
不妨设x1＜0＜x2，则-x1＞0．
令g（x）=f（x）-f（-x）=（3x2-6x+6）ex-x3-[（3x2+6x+6）e-x+x3]
=（3x2-6x+6）ex-（3x2+6x+6）e-x-2x3，
则g′（x）=3x2ex+3x2e-x-6x2=3x2（ex+e-x-2）≥0，
所以g（x）在R上是增函数，
又g（x1）=f（x1）-f（-x1）＜g（0）=0，∴f（x2）=f（x1）＜f（-x1），
又∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴x2＜-x1，即x1+x2＜0．
