从定义上证明:y=x^2/3 在除了0处可微
发布网友
发布时间：2024-10-24 02:41
共1个回答
热心网友
时间：2024-11-01 03:12
用定义证明如下：
y(x)=x^2/3
lim(△x→0)(y(x+△x)-y(x))/△x
=lim(△x→0)((x+△x)^2/3-x^2/3)/△x
=lim(△x→0)((x+△x)^2/3-x^2/3)((x+△x)^4/3+(x+△x)^2/3*x^2/3+x^4/3)/△x((x+△x)^4/3+(x+△x)^2/3*x^2/3+x^4/3) (a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2))
=lim(△x→0)((x+△x)^2-x^2)/△x((x+△x)^4/3+(x+△x)^2/3*x^2/3+x^4/3)
=lim(△x→0)(2x△x+△x^2)/△x((x+△x)^4/3+(x+△x)^2/3*x^2/3+x^4/3)
=lim(△x→0)(2x+△x)/((x+△x)^4/3+(x+△x)^2/3*x^2/3+x^4/3) (因为x不等于0，故让△x趋于0)
=2x/(x^4/3+x^2/3*x2/3+x^4/3)
=2/3x^(-1/3)
故y=x^2/3 在x不等于0处可微
下面证明该函数在x=0处是不可微的
lim(△x→0)(y(x+△x)-y(x))/△x
=lim(△x→0)((x+△x)^2/3-x^2/3)/△x
=lim(△x→0)((△x^2/3)/△x
=lim(△x→0)△x^(-1/3)
=∞,
故该函数在x=0处是不可微的
综上所述，y=x^2/3 在除了0处可微
