算法导论 - 第一部分 - 第二章 算法基础
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发布时间：2024-10-24 05:05
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时间：2024-10-25 04:29
本章介绍贯穿整个专栏的算法设计与分析框架。讨论排序问题的插入排序算法，并分析其正确性与运行时间。引入分治法设计算法，以归并排序为例进行讲解，并分析其运行时间。
插入排序算法，用于解决排序问题，输入为一个包含n个数的序列，输出为排序后的序列。算法工作方式类似于人类整理扑克牌，通过比较并插入到已排序的部分，实现整体排序。伪代码定义了插入排序过程，参数为数组A[1..n]，在数组中进行原地排序。
分析算法的正确性与运行时间涉及循环不变式的证明。初始化时，子数组A[1..j-1]为排序好的部分，且规模为j-1。保持过程中，通过移动A[j-1]至正确位置，保持不变式为真。终止时，在循环结束时，子数组A[1..n]为排序后的完整序列。
在分析算法时，使用随机访问机(RAM)模型作为实现技术，包括基本指令及其成本。RAM模型中，数据类型为整数与浮点数，字长被假设为不超过输入规模的对数。模型忽略了特定计算机的指令细节，聚焦于基本操作的时间复杂度。
插入排序算法的运行时间依赖于输入规模与序列的初始排序状态。算法运行时间通常与输入规模成正比，描述为输入规模的函数。运行时间分析涉及定义“步”操作，假定每行伪代码执行成本为常数，符合RAM模型。
分治法是一种设计算法的策略，通过将问题分解为更小的子问题求解，然后合并结果。归并排序是分治法的应用，通过递归地将数组分为两半，分别排序，最后合并排序好的子数组，实现整个数组的排序。
在分析归并排序的运行时间时，考虑递归调用的层次与合并步骤。归并排序的运行时间主要由递归调用和合并操作决定，呈现为输入规模的对数级别。
通过以上分析，插入排序算法与归并排序的正确性与运行时间得以详细阐述，为后续算法设计与分析奠定基础。理解算法的复杂度对优化算法性能、选择最优解决方案至关重要。
