...n∈N)。求证:数列{bn}为等差数列的充要条件是数列{an}为等差数 ...

发布网友 发布时间：2024-10-24 00:15

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热心网友 时间：2024-11-01 16:32

证明充要条件的时候要分两步——即充分性和必要性
首先来证明充分性：
当{bn}为等差数列时，设bn=b1+(n-1)d
an=1/n(Sbn)=1/n(b1n+1/2n(n-1)d)=b1+(n-1)d/2
很明显an就是以b1为首相，d/2为公差的等差数列
接下来证明必要性：
当{an}为等差数列时，设an=a1+(n-1)d
b1+b2+…+bn=Sbn=a1n+n(n-1)d
显然bn就是以a1为首相，2d为公差的等差数列
综上所述数列{bn}为等差数列的充要条件是数列{an}为等差数列

热心网友 时间：2024-11-01 16:29

若{b(n)}为等差数列,则设b(n)=b+(n-1)d,
a(n)=[b(1)+b(2)+...+b(n)]/n = [nb+n(n-1)d/2] = b + (n-1)d/2,
{a(n)}是首项为a(1)=b=b(1), 公差为(d/2)的等差数列.

若{a(n)}是等差数列,则设a(n)=a+(n-1)c,
a=a(1)=b(1)/1 = b(1),

b(1)+b(2)+...+b(n) = na(n)=na+n(n-1)c,
b(1)+b(2)+...+b(n)+b(n+1)=(n+1)a(n+1)=(n+1)a+(n+1)nc,
b(n+1)=(n+1)a+(n+1)nc - na - n(n-1)c
=a + 2nc,
b(n) = a + (n-1)(2c),
{b(n)}是首项为b(1)=a, 公差为(2c)的等差数列.

因此,
数列{bn}为等差数列的充要条件是数列{an}为等差数列