已知在数列{an}中,an≠0,(n∈N*).求证:“{an}是常数列”的充要条件...
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发布时间：2024-10-24 00:15
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时间：2024-10-28 10:11
证明：必要性：若{an}是常数列，且an≠0，（n∈N*）．
设an=a≠0（n∈N*），
显然数列{an}是以a为首项，以0为公差的等差数列，且{an}是以a为首项，以1为公比的等比数列．
充分性：若{an}既是等差数列又是等比数列，则对任意n∈N*都有：2an+1＝an+an+2an+12＝ anan+2，可得(an+an+22)2 ＝anan+2，整理得(an?an+2) 2＝0，
∴an=an+2=an+1．∴{an}是常数列．
综上所述，“{an}是非零常数列”的充要条件是“{an}既是等差数列又是等比数列”．
