...的前项和是Sn,若{an}和{Sn}都是等差数列,且公差相等,..._百度...
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发布时间：2024-10-23 21:29
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时间：2024-11-07 05:08
（1）解：设{an}的公差为d，则
Sn=d2n2+(a1-d2)n
①．
又{Sn}也是公差为d的等差数列，结合①知，Sn=d2n．
∴a1-d2=0，且d=d2，∴d=12，
则a1=d2=122=14．
∴an=a1+(n-1)d=14+12(n-1)=n2-14；
（2）证明：由an=n2-14，得：a1=14，a2=34，a5=94．
而a1，a2，a5恰为等比数列{bn}的前三项，
∴b1=a1=14，等比数列{bn}的公比q=a2a1=3414=3．
∴bn=b1qn-1=14×3n-1，∴cn=24bn(12bn-1)2=24×14×3n-1(12×14×3n-1-1)2=2×3n(3n-1)2．
当n≥2时，2×3n(3n-1)2＜2×3n(3n-1)(3n-3)=2×3n-1(3n-1)(3n-1-1)=13n-1-1-13n-1．
∴当n≥2时，Tn=32+2×32(32-1)2+…+2×3n(3n-1)2
≤32+(12-132-1)+(132-1-133-1)+…+(13n-1-1-13n-1)=2-13n-1＜2，
且T1=32＜2，故对任意n∈N*，Tn＜2．
