Lebesgue积分和Riemann积分
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发布时间：2024-10-23 23:04
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时间：2024-11-17 12:46
本文探讨了Lebesgue积分与Riemann积分之间的联系。在实变函数理论中，这两个积分方法通常在教材如周民强《实变函数论（第二版）》第199-202页、徐森林《实变函数论》第284-293页中有详尽介绍。对于闭区间[公式]上的实函数[公式]，我们定义了上积分[公式]和下积分[公式]。当[公式]固定，上函数[公式]与下函数[公式]分别单调递增和递减，使得[公式]和[公式]对于每个[公式]都有极限值，定义为[公式]和[公式]。这两个函数构成了[公式]的振幅函数[公式]，它与函数在[公式]处的连续性密切相关，引理1表明函数在[公式]处连续当且仅当[公式]。
核心的结论是，引理2指出[公式]和[公式]都是[公式]上的有界可测函数，从而在[公式]上是Lebesgue可积的。进一步，它们的积分关系是[公式]和[公式]。这里的积分是Lebesgue积分，区别于Riemann积分，后者可通过阶梯函数逼近，而Lebesgue积分则用简单函数逼近，体现了对值域的分割。
定理3强调，[公式]在[公式]上Riemann可积当且仅当几乎处处连续。定理4则揭示了两者的关系，Riemann可积蕴含Lebesgue可积，且有[公式]。然而，广义Riemann积分与Lebesgue积分有所不同，例如反例5中的函数[公式]，尽管广义Riemann积分存在，但在[公式]上却非Lebesgue可积，这归因于Lebesgue积分对绝对可积的要求更高。
对于广义实数上的函数[公式]，若存在广义Riemann积分，定理6指出它在[公式]上几乎处处连续，但不一定Lebesgue可积，其积分关系为[公式]。通过分类讨论和反证法，我们可以证明类似的关系。
本文主要概述了Lebesgue积分和Riemann积分的联系与区别，若发现错误，请在私信或评论中指正。
