已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)=-f(x+2),且f(x)在区间[0,2]上有表...
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发布时间：2024-10-23 23:18
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时间：2024-11-06 12:38
（1）∵函数f（x）对任意实数x均有f（x）=-f（x+2），且当x∈[0，2]时，f（x）=x（x-2），
∴f（-1）=-f（-1+2）=-f（1）=1，
f(2.5)＝?f(0.5+2)＝?f(0.5)＝34；
（2）函数f（x）对任意实数x均有f（x）=-f（x+2），且当x∈[0，2]时，f（x）=x（x-2），
设x∈[-2，0]，则0≤x+2≤2，
∴f（x）=-f（x+2）=-（x+2）（x+2-2）=-x（x+2），
设x∈[-3，-2]时，则-1≤x+2≤0，
∴f（x）=-f（x+2）=（x+2）（x+2+2）=（x+2）（x+4），
设x∈[2，3]时，则0≤x-2≤1，
f（x）=f（（x-2）+2）=-f（x-2）=-（x-2）（x-2-2）=-（x-2）（x-4），
综上所述，f（x）在[-3，3]上的表达式为f(x)＝(x+2)(x+4)，?3≤x＜?2?x(x+2)，?2≤x＜0x(x?2)，0≤x≤2?(x?2)(x?4)，2＜x≤3，
函数g（x）在区间[-3，3]上零点的个数即为方程g（x）=0的解得个数，
由g（x）=0，得f（x）=k，函数g（x）在区间[-3，3]上零点的个数即y=f（x）与y=k的交点个数，
根据f（x）在[-3，3]上的表达式以及二次函数的性质可得，f（x）的单调性情况如下：
f（x）在[-3，-1]上为增函数，在[-1，1]上为减函数，在[1，3]上为增函数，
又∵f（-3）=f（1）=-1，f（-1）=f（3）=1，
①当k＜-1或k＞1时，函数y=f（x）与直线y=k无交点，即函数g（x）无零点；
②当k=-1或k=1时，函数y=f（x）与直线y=k有2交点，即函数g（x）有2个零点；
③当-1＜k＜1时，函数y=f（x）与直线y=k有3交点，即函数g（x）有3个零点．
综上所述，当k＜-1或k＞1时，函数g（x）无零点，
当k=-1或k=1时，函数g（x）有2个零点，
当-1＜k＜1时，函数g（x）有3个零点．
（3）∵函数f（x）对任意实数x均有f（x）=-f（x+2），即f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x+2+2）=-f（x+2）=f（x），
故函数f（x）是周期函数，且周期为4，
设n∈Z，则f（x+4n）=f[x+4（n-1）+4]=f[x+4（n-1）]=…=f（x），
当x∈[4n，4n+2]时，0≤x-4n≤2，
∴f（x）=f（x-4n+4n）=f（x-4n）=（x-4n）（x-4n-2），
当x∈[4n-2，4n]时，-2≤x-4n≤0，
∴f（x）=f（x-4n+4n）=f（x-4n）=-（x-4n）（x-4n+2），
综上所述，f（x）=?(x?4n)(x?4n+2)，4n?2≤x≤4n(x?4n)(x?4n?2)，4n＜x≤4n+2，n∈Z，
根据f（x）的周期性，结合（2）中的单调性，即可得到：
f（x）的单调递减区间为[4n-1，4n+1]，单调递增区间为[4n+1，4n+3]，n∈Z，
∴当x=4n-1时，f（x）有最大值1．
