...b│=1,a与b的夹角为Л/3,求向量a+b与a-2b的夹角的余弦值
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发布时间：2024-10-23 22:42
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时间：2024-11-09 14:30
设a=(c,d),b=(e,f),
c^2+d^2=2^2=4,
e^2+f^2=1^2=1,
a·b=ce+df=|a||b|conЛ/3=√4√1(1/2)=1,
以上三个方程中包含4个未知量，所以，用其中一个量（用a1）可以表示另外3个量（a2,b1,b2）:
d=√(4-c^2),
e={1-f√[4-c^2]}/c,
代入e^2+f^2=1^2=1,
{[1-f√(4-c^2)]/c}^2+f^2=1,
1-2f√(4-c^2)/c+(f/c)^2[4-c^2]+f^2=1,
-2cf√[4-c^2]+f^2[4-c^2]+(cf)^2=0,
-2c√[4-c^2]+f[4-c^2]+fc^2=0,
f{[4-c^2]+c^2}=2c√[4-c^2],
f=2c√[4-c^2]/{[4-c^2]+c^2}=
=2c√[4-c^2]/4=c√(4-c^2)/2,
e=[1-f√(4-c^2)]/c=
=[1-c√(4-c^2)/2√(4-c^2)]/c=
=[2-c√(4-c^2)√[4-c^2]/(2c）=
=[2-c(4-c^2)/（2c）=
=(2-4c+c^3)/(2c)=1/c-2+c^2/2,
向量a+b与a-2b的夹角的余弦值:
con<a+b,a-2b>=(a+b)·(a-2b)/[|a+b||a-2b|]=
=(c+e,d+f)·(c-2e,d-2f)/[|(c+e,d+f)||(c-2e,d-2f)|=
=[(c+e)(c-2e)+(d+f)(d-2f)]/{√[(c+e)^2+(e+f)^2]√[(c-2e)^2+(d-2f)^2]}=
=[c^2-e^2-ce-e^2+d^2-f^2-df-f^2]/√{[(c+e)^2+(e+f)^2][(c-2e)^2+(d-2f)^2]}=
=[c^2-ce-2e^2+d^2-df-2f^2]/√{[(c+e)^2+(e+f)^2][(c-2e)^2+(d-2f)^2]}=
=[c^2-c(1/c-2+c^2/2)-2(1/c-2+c^2/2)^2+[√(4-c^2)]^2-[√(4-c^2)][c√(4-c^2)/2]-2[c√(4-c^2)/2]^2]/√{[(c+(1/c-2+c^2/2))^2+((1/c-2+c^2/2)+[c√(4-c^2)/2])^2][(c-2(1/c-2+c^2/2))^2+([√(4-c^2)]-2[c√(4-c^2)/2])^2]}=
=[c^2-1+2c-c^3/2 -2/c^2-8-c^4/2+8/c-2c+4c^2 +4-c^2 -c(4-c^2)/2 -2c^2(4-c^2)/4]/√{[(c+1/c-2+c^2/2)^2+[1/c-2+c^2/2+c√(4-c^2)/2]^2][[c-2(1/c-2+c^2/2)]^2+([√(4-c^2)]-2[c√(4-c^2)/2])^2]}=
=[c^2-1+2c-c^3/2 -2/c^2-8-c^4/2+8/c-2c+4c^2 +4-c^2 -c(4-c^2)/2 -2c^2(4-c^2)/4]/√{[(c+1/c-2+c^2/2)^2+[1/c-2+c^2/2+c√(4-c^2)/2]^2][[c-2(1/c-2+c^2/2)]^2+([√(4-c^2)]-2[c√(4-c^2)/2])^2]}=...,
向量a+b与a-2b的夹角的余弦值 就是上面的表达式了。原以为在式子的分子分母中的c能够有所相约，现在看来是难以完全相消的。已经推导很久了，难以达到更加简化的表达结果。我在想，题目是否少了一个已知条件？
热心网友
时间：2024-11-09 14:37
cos<a,b>=a*b/|a||b| = cosЛ/3= 1/2
而且|a||b|=2*1=2
所以 a*b=1
向量a+b与a-2b的夹角的余弦值等于
(a+b)(a-2b)/|a+b||a-2b|=0
