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清华大学自主招生试题含答案

2024-07-16 来源：赴品旅游



文档仅供参考，不当之处，请联系改正。一、选择题

1.设复数z=cos

2
3+isin

2
3，则

1

1




=（ ）



















1-z

z

2





















(A)0 (B)1 (C)

1

(D)

3

2

2

a

p

a q

a k

a l

”的( )条件

2.设数列

{ a n

}

为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l”是“

(A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要

3.设A、B 是抛物线y=

x

2

上两点，O 是坐标原点，若OA⊥OB,则( )

(A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥2

2

(C)直线AB 过抛物线y=

x

2

的焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于1

4.设函数

f x ( )

的定义域为(-1,1)，且满足：①

f x ( )

>0,x∈(-1,0)；②

f x ( )

+

f y ( )

=

f

xy

(

1xy

)

，x、y∈

(A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数
(-1,1)，则f x ( )为

5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f(x)相切于两点，则F(x)=f(x)−kx 有（ ）

(A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点

6.△ABC 的三边分别为

a

、b、c．若c=2，∠C=

，且sinC+sin(B−A)−2sin2A=0,则有（ ）

3

(A)b=2

a

(B)△ABC 的周长为2+2

3

(C)△ABC 的面积为

2 3

(D)△ABC 的外接圆半径为

2 3

3

3

7.设函数

f x ( )

(

x

2

3)

e

x

，则（ ）

(A)

f x ( )

有极小值，但无最小值 (B)

f x ( )

有极大值，但无最大值

(C)若方程

f x ( )

=b 恰有一个实根，则b>

6

(D)若方程

f x ( )

=b 恰有三个不同实根，则0<b<

6

e

3

e

3




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8.已知A={(x,y)∣

x

2

y

2

r

2

}，B={(x,y)∣

(

x

a

)

2

(

y

b

)

2

r

2

，已知A∩B={(

x y 1 1

),(

x 2

,

y

2

)}，

则（ ）

(A)0<a2b2 <2r2 (B) ax 1x2)b(y1y2)0

(C)x1x2=a，y1y2=b (D) a2b2=2ax12by1

9.已知非负实数x,y,z满足4x24y2z2+2z=3，则5x+4y+3z的最小值为（ ）

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

10.设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则（ ）

（A）{an}可能为等差数列 （B）{an}可能为等比数列

（C）{an}的任意一项均可写成{an}的两项之差(D)对任意正整数n，总存在正整数m，使得an=Sm

11.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道

的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手

都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是

（ ）

12.长方体ABCD−A B C D 1 1 1 1中，AB=2，AD=ABD 的距离为（ ）(A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁
(A)
3 | x || y | 2
1
13.设不等式组2k x1) 所表示的区域为D，其面积为S，则（ ）

(A)若S=4，则k 的值唯一 (B)若S=

1

，则k 的值有2 个

2

(C)若D 为三角形，则0<k≤

2

(D)若D 为五边形，则k>4

3

14.△ABC 的三边长是2,3,4，其外心为O，则

u u u r u u u

OA AB

u u u r u u u

OB BC

u u u r u u u

OC CA

=（ ）

(A)0 (B)−15 (C)−

21

(D)−

29


2

2

15.设随机事件A与B互相独立，且P(B)=0.5，P(A−B)=0.2，则（ ）

(A)P(A)=0.4 (B)P(B−A)=0.3 (C)P(AB)=0.2 (D)P(A+B)=0.9

16.过△ABC的重心作直线将△ABC分成两部分，则这两部分的面积之比的（ ）

3 4 4 5
(A)最小值为 (B)最小值为 (C)最大值为 (D 最大值为
4 5 3 4
17.从正15 边形的顶点中选出3 个构成钝角三角形，则不同的选法有（ ）
(A)105 种 (B)225 种 (C)315 种 (D)420 种
18.已知存在实数r，使得圆周x 2y 2r 2
上恰好有n 个整点，则n 能够等于（ ）




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(A)4 (B)6 (C)8 (D)12

19.设复数z满足2|z|≤|z−1|，则（ ）

(A)|z|的最大值为1 (B)|z|的最小值为

1

(C)z 的虚部的最大值为

2

(D)z 的实部的最大值为

1

3

3

3

20.设m,n 是大于零的实数，

r
a

=(mcosα,msinα)，

r
b

=(ncosβ,nsinβ)，其中α,β∈[0,2π)α,β∈

[0,2π)．定义向量

r
a

1

=(

m


cos 2 ,

m

sin 2

),

r
b

1

=(

n


cos 2 ,

n

sin 2

)，记θ=α−β，则

2

2

（ ）

r

1


r

1


r
a

(B)

r

1


r
b

1


mn


cos 2 (C)


r

1

r
b

1







r

1


r

1





(A)

a

2

·

a

2

=

a

2

2

=

|

a

2

2

| 2

4

mn

2
sin 4

(D)

|

a

2

b

2

| 2

4

mn

2
cos 4

21.设数列{

a n

}满足：

a 1

=6，

a n

1

n

3

a

，则（ ）



n


n













(A)∀n∈N∗,

a n

<

(

n

1)

3

(B)∀n∈N∗,

a n

≠

(C)∃n∈N∗,

a n

为完全平方数 (D)∃n∈N∗,

a n

为完全立方数

22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（ ）

（A）ρ=
cossin
sin


（B）ρ=
x 2sin12sin1 1 1
23.设函数
24.△ABC 的三边分别为（A）f x

(A)sinA>cosB (B)tanA>cotB (C)

a

2

b

2

c

2

(D)

a

3

b

3

c

3

25.设函数

f x ( )

的定义域是(−1,1)，若

f

(0)

=

f(0)

=1，则存在实数δ∈(0,1)，使得（ ）

(A)

f x ( )

>0，x∈(−δ,δ) (B)

f x ( )

在(−δ,δ)上单调递增

(C)

f x ( )

>1，x∈(0,δ) (D)

f x ( )

>1，x∈(−δ,0)

26.在直角坐标系中，已知A(−1,0)，B(1,0)．若对于y 轴上的任意n 个不同的点

P k

(k=1,2,…,n)，总存

在两个不同的点

P

,

P

，使得|sin∠A

P i

B−sin∠A

P

B|≤

1

，则n 的最小值为（ ）

i


j

j

3

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

27.设非负实数x,y 满足2x+y=1，则x+

x

2

y

2

的（ ）

1

2


(A)最小值为

4

(B)最小值为

2

(C)最大值为1 (D)最大值为



5


5


3






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28.对于50个黑球和49个白球的任意排列（从左到右排成一行），则（ ）
(A)存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多(B)存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多

(C)存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个(D)存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个

29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如12231，则能得到的不同的五位数有（ ）
(A)300个 (B)450个 (C)900个 (D)1800个

30.设曲线L 的方程为

y

4

(2

x

2

2)

y

2

(

x

4

2

x

2

)

=0，则（ ）

(A)L是轴对称图形 (B)L是中心对称图形

(C)L⊂{(x,y)∣

x

2

y

2

≤1} (D)L⊂{(x,y)∣−

1

≤y≤

1

}








2


2


##Answer##

1.【解析】

1

1
z

2

=

1

zz

z

2

=

1

z

z

z

=

1-cos

2

1

i

sin

2

cos

2

i

sin

2

3

3

1-z

1-z

zz

1-z

2 sin

2

3

3

3

=

2 2
1
-
cos(
3
)i sin(
3
)
2sin 2
2sin

cos 3(cos 
i sin

)
2sin

[cos(
cos0



i
)
sin 0
i sin(

)]
-
1
3 [cos(3 3 3 2
1
3 (cos 3

=

=

2.【简解】

a

p

a q

(

a k

a l

)

=[(p+q)-(k+l)]d，与公差d 的符号有关，选D

3.【解析】设A(

x x 1 1 2

),B(

x x 2 2

2

),

u u u r u u u

OA OB

=

x x 1 2

(1

x x 1 2

)

=0

x 2



1


x 1

答案(A),

|

OA

| |

OB

|

=

x 1 2

(1

x 1 2

)

1

(1

1

)

=

1

x 1 2

1

1

≥

2

2 |

x 1

| |

1

|

=2，正确；答案

x 1 2

x 1 2

x 1 2

x 1

(B),|OA|+|OB|≥2

|

OA

| |

OB

|

≥2

2

,正确；答案(C),直线AB 的斜率为

x 2

2

x 1 2

=

x 2

x 1

=

x 1

1

方

x 2

x 1



x 1

程为y-

x 1 2

=(

x 1

1

)(x-

x 1

),焦点(0,

1

)不满足方程，错误；答案(D)，原点到直线AB：(

x 1

1

)x-y+1=0

x 1

4

x 1

的距离d=

(

x 1

1

)

2

1

≤1，正确。选ABD


1


x 1




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4.【解析】x=y=0

f

(0)

=0,y=-x

f

(

x

)



f x ( )

,

f x ( )

为奇函数，(A)正确；

f x

0，(B)错误；

x 1

x 2

，

f x

)

-

f x 2

)

=

f x 1

)

+

f

(

x 2

)

=

f



x 1

x 2

>0

f x

)

>

f x 2

)

f x ( )

↓,(C)正确；

f x ( )


1



1

x x 1 2


1




=-tan


2x

满足已知条件，但无界，(D)错误。选A,C

5.【简解】将直线平移知：斜率为k 的直线，与曲线y=

f x ( )

至多有五个公共点，其中在此直线先下方后

上方的两个区间，先上方后下方的三个区间，故

F x ( )

有三个极大值点，两个极小值点。选BC

6.【解析】2R=

c

C

=

4

R=

2

3

,D 正确；

sin

3

3

又sinC+sin(B-A)=sin(B+A)+sin(B-A)=2sinBcosA=2sin2A=4sinAcosA

cosA=0 或sinB=2sinA

A=

或



2

b=2 a ; A=

时，b=
2
3 , a =
4
3 ,周长为2+ 3，面积为
2
3；b=2 a时，c 2
= a 2b 22 ab cos C
2 3 3 3
3 22
a = 3 ,B= ,同样有周长为2+ 3，面积为
6
7.【简解】

选BD





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8.【解析】已知即半径相等的两圆⊙O:x2y2r2

与⊙C:(xa)2(yb)2r2

交于相异的两点

Px y 1 11 )、Px 22 ,y2)。0<|OC|<2|r|0<a2b2

<4r2

,(A)错；四边形OP1CP2是菱形对角线OC与

PP1 2垂直且平分，(B)(C)正确；a2b2

=2ax12by1(ax1)2(by1)2x12y12|CP1|| OP1|(D)

正确。

总之，选BCD

9.【解析】关于z 的方程

z

2

2

z

4

x

2

4

y

2

3

0

有非负实数解，z=-1+2

1

x

2

y

2

≥0

x

2

y

2

3

,

4

d=5x+4y+3z=5x+4y+6

1

x

2

y

2

-3,设x=rcosθ,y=rsinθ,θ∈[0,

],r∈[0,

3

]

2

2

d=r(5cosθ+4sinθ)+6

1 r

2

-3=r

29

sin(θ+arctan

5

)+6

1 r

2

-3

4

≥4r+6

1 r

2

-3=2(2r+3

1 r

2

)-3,设

r
a

=（2,3），

r
b

=(r,

1 r

2

)

d≥2

r r
a b

-3=2

|

r r

a b

|

cos(

r r
a b

)-3=2

13


Y


1

X2+Y2=1

O

3

X

2

(

r r
a b

)最大值是

r
b

与

u u u

OY

夹角，此时d≥2

13

3

-3=3。选C

13

10.【解析】答案(A)，常数列0,0,0,...满足要求；答案(B),公比q=1 时因n

a 1

≠

a 1

,结论假，q≠1 时，

a 1

(1

q

n

)

a q 1

m

1

1

q

n



q

常数，也不可能；答案(C),

a n

S

n

S1

=

a m

a t

,满足要求；答案

1

q

q

m

1


(D),

a n

=

S

m

=

a t

，并非对所有数列成立。选AC




11.【简解】答案甲乙丙不能保证只有一个正确，故选D 12.等体积法，选B



13.【解析】如图：不等式组表示过点P(-1,-2)的直线的下方与正方形ABCD 围成的面积图形



文档仅供参考，不当之处，请联系改正。 l2:k2=4
C(0,2)
l3
P3

D(-2,0)

l1:k1=

2




































































































































































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4

,等号成立当且仅当x=y=

2


DE∥BC,故S 最小值为

4

，1-S 的最大值为

5

；故两面积比值有最小值

9

3

9

9

4

，最大值

5

。选BD

5



4

17.【解析】先看一个顶点处构成钝角的三角形个数，加设此点为A，从A 逆时针方向的点依次记为

A k

(k=1,2,3,…,7),顺时针方向的顶点依次记为

A

k

(k=1,2,3,…,7)，△

A AA

m

要构成以A 为钝角的钝角三

角形，则n+m≤7，有1+2+3+…+6=21个。于是共可构成15×21=315个钝角三角形。选C18.【简解】正数点关于x轴、y轴对称，故一定是4的倍数。选ACD

19.【简解】设x=x+yi(x,y∈R),代入化简得到

(

x

1

)

2

y

2

4

，表示以(-

1

,0)为圆心，以

2

为半径的





3







9


3


3


圆及其内部，根据图形，选ACD

20. 【解析】

r
a

1

·

r

1

是一个数值，不是向量，(A)错；

2

a

2

r
a

1

r
b

1

=

mn

cos


cos

2

+

mn

sin


sin


=

mn

cos


=

mn


cos 2 ,(B)正确；

2

2






2




2

2



2



| a
r 1
2b
r 1
2 | 2
= ( m cos

 n cos

) 2
+ ( m sin

n sin

) 2
=m+n-2 mn cos

= m+n-2 mn cos
2 2 2 2 2
同理(D)正确

2
≥2 mn (1-cos

2 )= 4 mn sin 4 2
,(C)正确；
21.【简解】选BCD

13×31，不可能是三个连续整数之积，(B)正确；三个连续整数积不可能为完全平方数和立方数，(C)(D)错误。选AB
1

22.【简解】(A)去分母，化成直角坐标方程为x+y=1，表示直线；(B)为ρ=

1

1

2


)

表示椭圆；(C)

cos(




2


2


1

为ρ=

1

2 表示椭圆；(D)为ρ=

1

cos

2

1


)

2

表示双曲线。选BC

1 2cos(

23.【解析】

f x ( )

≤

4
3

g(x)=

4

x

2

4

x

4

3sin

x

≥0,

g

极小值

1
( )=g( )

2

=0,(A)正确；

| ( ) |

≤5|x|

|sinπ x|≤|

x

3

x

2

x

|.作图象知成立,(B)正确；x=

1

是其一条对称轴，(C)正确；




2

f a

x

)

f a

x

)

不可能为常数，故(D)错误。选ABC





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24.【简解】A+B>

2

A>

-B

sinA>sin(

-B)=cosB,tanA>tan(

-B)=cotB,(A)(B)正确；锐角三角形，


2




2


2

一定有

a

2

b

2

c

2

，(C)正确；三角形三边长为0.5,0.9,1 时，满足锐角三角形条件，但

0.5 3

0.9

3

0.854

<1，(D)错误。总之，选ABC

25.【解析】根据导数定义，对任意ε>0,存在δ>0,当|x|<δ时，|

f x ( )

f

(0)

-1|<ε

x(1-ε)+1<

f x ( )


x






<x(1+ε)+1，对ε取值可知(A)(C)正确；

f(0)

=1>0，知在0 附近存在区间，

f

( )

>0,(B)正确；对于函

数y=x+1，(D)不正确。总之，选ABC

26.【解析】将所有的|sin∠A

P i

B−sin∠A

P j

B|，按从小到大排序，共有

C

2

个，其中最小者不大于

1

，最

n

3


大为2，于是

1

C

2

≥2,n 的最小值为4.选B

3

n

27.【解析】设x=rcosθ,y=rsinθ,θ∈[0,

].2x+y=1

r=

1

,x+ sin

x

2

y

2

=rcosθ+r=

2

2cos




cos1

,记作T；去分母得到Tsinθ+(2T-1)cosθ=1,

2cossin

T

2

(2 T

1)

2

sin(θ+arctan

2 T

1

)=1

T


≤

T

2

(2 T

1)

2

，解得T≥

4

,等号成立当且仅当θ+arctan

2 T

1

=θ+arctan

3

=

，(A)正确；当θ=0

5

T

4

2


28.【简解】黑球先放好，放白球，选A 2 时T=2，θ= 时T=1，最大值为2，(C)正确。选AC
字，有
排2；有
C
C

5 3 C 3 1 A 5 1 C 4 2
=900.选C
29.【解析】先从五个数字中，将这三个数字中选出来，有

30.【简解】解方程得到

y

2



x

2



4

x

2

1

，易知它关于两坐标轴及原点都对称，(A)(B)正确；

x

2

y

2

=

4

x 1 1

≤1 有-

3

≤x≤

3

条件，但已知中无此条件，故(C)错误；设2x=tanθ,θ∈(-

2

2

,

),

y

2

=-

1 sec 4

2

+secθ-

3

,当secθ=2 时，

y

2

max

=

1

，-

1

≤y≤

1

,(D)正确。选ABD

2

2


4




4

2

2



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