第29卷第2期 2013年6月 沧州师范学院学报 Journal of Cangzhou Normal University Vo1.29.No.2 Jun.2013 含参量反常积分的一致收敛性 王金花 ,赵志平 (1.沧州师范学院数学系,河北沧州061001;2.泊头职业学院,河北泊头062150) 摘 要:通过对积分变量作变量变换将两种含参量反常积分的一致收敛性建立联系,给出了借助含参量 无穷限反常积分的一致收敛性判断含参量无界函数反常积分一致收敛性的一种方法,从而在一定程度 上将二者统一,加深读者的理解与认识. 关键词:含参量无穷限反常积分;含参量无界函数反常积分;一致收敛 中图分类号:0172.2 文献标识码:A 文章编号:2095.2910{2013)02.0009—02 现行的数学分析教材[ 4 及文献[ ・ 仅给出了含参量无穷限反常积分一致收敛的判定定理,而对含参量 无界函数的反常积分及其一致收敛性介绍较少[ .然而我们可以将含参量无穷限反常积分转化为含参量无 穷限反常积分,这是判断某些反常积分的一致收敛性时行之有效且简洁的方法. 1 定义 1.1 设函数 ,Y)定义在无界区域 ={( ,Y)f口≤ ≤b,c≤Y<+。。}上,若对每一个固定的 ∈ √c [n,b],反常积分l ,( ,Y)dy (1)都收敛,则它的值是 在[口,b]上取值的函数,当记这个函数为,( ) 时,则有,( )=l ( ,Y)dy, ∈[o,b] (2),称(1)式为定义在[口,b]上的含参量 的无穷限反常积分, 或简称含参量反常积分. 1.2 若含参量反常积分(1)与函数,( )对任给的正数e,总存在某一实数N>c,使得当M>N时,对一 切 ∈[0,b],都有ll JI ( ,Y) 一,( )I<£,即I I 厂( ,Y)dy}<£,则称含参量反常积分(1)在[口,b]上 c I I√M l一致收敛于,( ),或简单地说含参量积分(1)在[o,b]上一致收敛. rd 1.3 设f( ,Y)在区域R=[o,b]×[c,d]上有定义.若对 的某些值,Y=d为函数f( ,Y)的瑕点,则 称I ,Y) (3)为含参量的无界函数反常积分. 时,对一切 ∈[o,b],都有 1.4 对任给正数e,总存在某正数 <d—c,使得当0<刀< lI广d I ,( Y)dy {1 J dI<e,则称含参量反常积分(3)在[n,b]上一致收敛. I,一 2 定理 设f( ,Y)在区域R=I×[C,d]上有定义(其中,为区间),某些点( ,d), ∈,为 rd 1 ,Y)的瑕点,含 参量无界函数反常积分I,( ,Y)dy在,上一致收敛的充要条件是:通过变换d—Y=÷后所得含参量无穷 r+∞ 1 1 限反常积分J ( ,d一吉) 在,上一致收敛・ 收稿Et期:2013.03.10 基金项目:2012年度河北省教育厅课题“数学分析中教法与函数分析性质的研究”,编号:No.Z2010055 作者简介:王金花(1963一),女,河北河闻人,沧州师范学院数学系副教授.主要研究方向:泛函分析. ・9 ・ 证 如果j ( ,y)dy在,上一致收敛,则对于V£>o,j ∈(0,d—c),使得当o<77< 时,对于 任何 ∈,,有l f:一 ‘ , ) {,取Ⅳ=吉,则Ⅳ> ,当 >Ⅳ时,。< < ,从而对于任何 ∈,, 有胁 一 , : 卟 即j.≥ d一 在,上一致收敛.反之,当j’ d-c d一 ) d 在,上一致收敛时,完全类似地又可证明l d厂( ,y)dy在,上一致收敛. 3 应用举例 讨论含参量反常积分r 1。i 的一致收敛区间. 分析 根据教材…第十一章第三节习题3(7)知道:反常积分Jr。 1嘉1 sin专 在a<11 时绝对收敛,在1≤ a<2时条件收敛,在a≥2时发散.这是一个含参量的无界函数反常积分,它可以用相应的一致收敛判别法 去讨论,也可以通过转化为含参量的无穷限反常积分去讨论. 解 作变换 = 1 -sin = 去sin础. (1)任取 >0,先证它在(一∞,2一 ]上一致收敛.这是因为: ( )i)对任何 ∈(对任何a∈(一 ,2一艿]及Ⅳ>1,有}』j 1 sin }f }≤2; (ii)对于每一个a∈(一∞,2一 ], 1关于f在[1,+∞)上单调递减.又因为{去I≤ 1,所以当£ 一+。。时,击在(一。。,2一 ]上一致收敛于0.根据狄利克雷判别法,证得 击sin£ 在(一o。,2一 ]上 一致收敛.因此r 1。in 在(一∞,2一 ]上一致收敛. (21任取b<2.再证它在f 6,2)匕不一致收敛.为此令e :1.对于V M>l,取自然数k使得2krr>M, 并取A1=2kzr,A2:(2k+1)丌.因为lim ((2K+1)7『) 一。 =2,所以存在 。∈(6,2)使得 口一2一 >1,从而得到 A: ̄si t sint ≥去 = 斋 … 故』 古sin 在[6,2)上不一致收敛,亦即』0 sin ldx在[6,2)上不一致收敛. 除此之外根据定义我们还有:含参量反常积分I 厂( ,Y)dy在区间,上一致收敛的充要条件是l. M— + im y) i-0. 参考文献: 『1]华东师范大学数学系.数学分析(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2010. [2] 陈传璋,金福临.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1983. [3] 陈纪修,於崇华,金路.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2000. [4]刘玉琏,傅沛仁.数学分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,1992. [5] 黄慧,陈辉.含参量反常积分的一致收敛性[J].高等数学研究,2011,14(1):3—4. 『6]苏婷,周静.含参量反常积分一致收敛法探讨[J].周口师范学院学报,2011,28(2):42—45. 『7]宋泽成.含参量瑕积分的一致收敛性[J].唐山师范学院学报,2008,30(5):12—15. (下转第44页) ・ D ・ 参考文献: l1] Burbidge E M,Burbidge G R,Fowler W A et a1.Synthesis of the elements in stars[J].Rev.Mod.Phys., 1957,29:547—650. [2] Gallino R,Arlandini C,Busso M et a1.Evolution and nucleosynthesis in low—mass asymptotic giant branch stars. II.neutron capture and the s—process[J].ApJ,1998,497:388—403. 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Research on the Abundance of Heavy Element in the Carbon-・enhanced Metal--poor Star CS 22964・—161 MA Kun (Department of Physics and Electronic Information,Cangzhou Normal University,Cangzhou,Hebei 061001,China) Abstract:The research on the abundance of element in the Carbon—enhanced Metal—poor Star CS 22964—161shows that it is rich in carbon and abundant in heavy element,which is very beneficial to the research on nuclear synthesis in the s—process.In this research we use the parametric model to study the abundance of heavy element in CS 22964—161. The score of the ovedap factor deduced for the star is very big(r=0.57),which means the original quality of AGB—star should be less than 3M ̄.The score of neutron radiation dose is 0.49 and the average dose of neutron radiation is-c0 0.87(%/0.348) ,larger than that of solar system,which provides a good explanation of the s—process element,espe— cially the superabundance of Pb.The component coeficientfs of s—process and r—process are both smal1.which suggests that the star belongs to a binary system with large orbital separation. Key words:nuclear synthesis;parametric model;AGB—star [责任编辑:尤书才] (上接第10页) The Uniform Convergence of Parameter Improper Integrals WANG Jin—hua ,ZHAO Zhi—ping; (1.Department of Mathematics,Cangzhou Normal University,Cangzhou,Hebei 061001,China; 2.Botou Vocational College,Botou,Hebei 062150,China) Abstract:Two kinds of parameter improper integrals are combined by way of the variable transformation to find a method of judging the uniform convergence of parameter improper integral of unbounded function. Key words:infinite parameter improper;parameter improper integral of unbounded function;uniform convergence [责任编辑:尤书才] ・44・