对求条件极值问题的思考

对求条件极值问题硇思考　中国矿业大学（北京）　吴小虎林天舒刘妍琦　［摘要］求条件极值是高等数学中经常遇到的一种问题，教材通常都给出了利用拉格朗日乘数法的求解方法。但对很多问题，存在　着更为简便的解法。本文针对几例典型问题探讨了求条件极值的几种方法。　［关键词］条件极值拉格朗日乘数法　均值不等式　柯西不等式　琴生不等式　在高等数学的学习中，我们经常碰到求条件极值的问题，教材中常　采用拉格朗日乘数法。在《高等数学》ｕＩ中，拉格朗日乘数法是这样定义　的：　由三角形面积公式ｓ＝√户（ｐ—ｎ）（户一６）（户一ｃ），其中Ｐ为半周长，　ａ，６，ｃ为三角形边长。由余弦定理ｎ：．Ｊ２Ｒ￣－２Ｒｚ　ｃｏｓｌｆ：２Ｒｓｉｎ嬖　Ｉ　要求目标函数ｚ＝ｆ（ｘ，　）在附加条件　，　）＝０下的可能极值点，　可以先做拉格朗日函数Ｌ（ｘ，　）　厂（　，　）＋　（　，Ｙ）（其中　为参数），求　其对ｚ与Ｙ的一阶偏导数，并使之为零，然后与　－ｚ，ｙ）＝Ｏ联立解出极　值可疑点－ｚ，　。　在有些情况下，拉格朗日乘数法很好用，能起到很好的效果，解决　很多问题。可是，拉格朗日乘数法并不是求极值的唯一方法，我们还可　以利用均值不等式、柯西不等式、琴生不等式等不等式去求极值。有　时，对问题直接进行分析，也可以解决问题。更重要的一点是，在有些　场合，用拉格朗日乘数法求极值会很繁琐，这会增加我们的解题负担。　为此，掌握一些求极值的其他方法是十分必要的，下面我们通过几道具　有代表性的例题来说明这个问题。　１．典型例题　例１求半径为Ｒ的圆的内接三角形中面积的最大者　】。　分析：如图，利用三角形ＡＢＣ是圆内接的这一性质，可将面积Ｓ写　成圆心角　，　，ｙ的函数。再采用拉格朗日乘数法进行求解，也可以采　ｂ＝２Ｒｓｉｎ号，ｒ＝２Ｒｓｉｎ薹，由均值不等式有　ｓ＝，［ｐ（ｐ－ａ）（ｐ－ｂ）（ｐ－ｃ）　≤ｐ－ａ＋ｐ－ｂ＋ｐ－ｃ＝孚　ｐ＝　ｓ．ｎ薹＋ｓ．ｎ　＋ｓ　舌）　＋ｒＲ×３ｓｉｎａ＋ｆｌ６．＝．　与解法二同理，可证Ｆ（ｚ）　ｓｉｎ专为凸函数，再由琴生不等式有　３ｆＲ　　，所以，ｓ　＝　手Ｒ　，取等号时，ａ＝　＝ｙ＝吾　。　解法四：利用正弦定理。　由正弦定理知丽ａ　ｉ丽ｂ　丽Ｃ＝２Ｒ故有　，ｓ＝吉口ｂｓｉｎＣ＝２Ｒ。ｓｉｎＡ×ｓｉｎＢ×ｓｉｎＣ，　且　ｏｓ（ＡｓｉｎＡ×ｓｉｎＢ×ｓｉｎＣ：—ｃ用琴生不等式来求解。除此之外，还可以根据正弦定理、三角形面积公　式等几何定理来解答。　－Ｂ）－————　ｃｏｓ—（Ａ＋Ｂ）×ｓｉｎＣ　————一———————≤　：　ｓｉｎＣ：　２　４（１一ＣＯＳｃ）（１一ＣＯＳｃ）（１＋ｃｏｓｃ）（１＋ｃｏｓＣ）　ｌ（３（１－ｃｏｓＣ）＋３（１＋ｃｏｓＣ））４４　＝　８　ＶＶ　解法一：拉格朗日乘数法。　≤如图，设　ＯＢ＝ａ，／ＢＯＣ＝ｆｌ，　ＣＯＡ＝），，　３　丢　则ａ＋ｆｌ＋），＝２　，（Ｏ＜口，　，），＜　且所对应三角形面积　两次等号都成立的条件是Ａ＝Ｂ＝Ｃ，所以ｓ一＝半Ｒ。。　解法五：利用几何方法。　由解法四知　ｓ＝吉Ｒ。ｓｉｎａ＋　１Ｒ。ｓｉｎｌｆ＋百１Ｒ　ｓｉｎｙ，　作拉格朗日函数　Ｆ（ａ，　，），，　）＝吉Ｒ。ｓｉｎａ＋万１Ｒ　ｓｉｎｌｆ＋　１Ｒ。ｓｉｎＴ＋Ａ（ａ＋ｆｌ＋７—２　解联立方程得　　ｃＯｓ　＋　＝　Ｆ。（　，　，　，　）＝　Ｒ０ｓ＝　ｓｉｎＣ＝豢＝ｚＲ２　ｓ．ｎ詈Ｓｉ１１　ｓ　々　与解法四中ｓｉｎＡ　ｓｉｎＢｓｉｎｃ　一样，可以证明　（口，　，），，　）＝　Ｒ　ｃｏｓｆｌ＋￣＝　ＦＴ（ｏ￣　，ｙ，　）＝－Ｒｚ　ｃｏｓｙ＋Ａ＝０，　ｓ￣　０ｔ．ｎ譬ＳｉＩ１号≤警　ｓ一学Ｒ　．　可得唯一驻点ａ＝ｆｌ＝ｒ＝２Ｔｃ由于圆内接三角形最大面积存在，　，根据纯几何的分析，我们同样可以解决这个问题。　解法六：利用初等数学。　若ＢＣ两点固定，Ａ在圆周上运动，由图可知：当Ａ在ＢＣ的中垂线上　且Ａ在劣弧ＢＣ上时，面积大于Ａ在其他点。以此类推，Ａ、Ｂ、Ｃ分别位　故　于ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ的中垂线上时，面积取得最大值半Ｒ　，此时三角形　ｓ　Ｒ。×萼　学　解法二：利用琴生不等式。　由解法一有口＋　＋ｙ　２Ⅱ，且　ＡＢＣ为正三角形。　本例中的圆心角三个角度之间存在轮换对称性，所以用拉格朗日　Ｓ＝１Ｒ￣ｓｉｎ口＋１ＲＺ　ｓｉｎｆｌ＋１Ｒ￣ｓｉｎ７，　乘数法时，能简单地得到三个角度之间的关系。但当未知量不存在对　称性或者不是全部存在对称性时，如果再用拉格朗日乘数法，问题就不　会那么简单了。下面就是一个例子。　设Ｆ（ｚ）＝ｓｉｎｘ，（０＜ｚ＜７ｃ　贝４　Ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘ，Ｆ＇（ｘ）＝－ｓｉｎｘ＜０　所以，Ｆ（ｘ）为凸函数。由琴生不等式知　例２在椭球体手＋　＋　＝１内，求一表面积为最大的内接长方　体，并求出其最大表面积　。　方法一：拉格朗日乘数法。　设位于第一象限的点的坐标为（日，ｂ，ｆ　则长方体表面积为　Ａ＝８　ｂ＋ｂｃ＋ｆ口　Ｉ＇＝－１题为求满足条件　＋ｂ　＋ｃ　＝１的ｄ，ｂ，ｆ，使达到　ｓｉｎａ＋ｓｉｎｌｆ＋ｓｍ．ｙ　３ｓｉｎ华　：学，　故ｓ～：　Ｒｚ，当且仅当ａ：　：ｙ：罢Ⅱ时等号成立。　解法三：利用均值不等式。　基金项目：本文受中国矿业大学（北京）工程力学专业建设项目资助。　作者简介：昊小虎（１９９２一），男，湖北荆州人，中国矿业大学（北京）力学与建筑工程学院工程力学２０１０￣ｉ．本科在读。林天舒（１９９２一），男，安徽马鞍　山人，中国矿业大学（北京）力学与建筑工程学院工程力学２０１０￣ｉ本科在读。　一３６—　最大值。作拉格朗Ｅｌ函数　设２＞０，有Ｆ（口，ｂ，ｆ）＝２ａｂ＋ｂ。≤｛日　＋２ｂ　＋ｂ　＝　１　＋（１＋　）６　。　Ｆ　，ｂ，ｃ，　）＝８（　ｂ＋ｂｆ＋ｆ　）＋　（譬＋６　＋ｆ。一１）　解联立方程Ｆ　：８（６＋ｃ）＋　Ｆ６＝８（ｆ＋ｄ）＋２２ｂ＝Ｏ，　Ｆ　＝８（ａ＋ｂ）＋２２ｃ：０，　＝ｏ　令南＝　＝８　ｎ　一８＿ｏ　＝１　所以　，ｂ，ｃ）≤　（　＋ｂｚ）：　。　。　等　＋ｆ２＿１．Ｏ。　得６＝ｃ＝　于是　＋吉　＝ｏ。即Ａ　＋　一１２８＝０。　故２＝－２（１±厩）。　故Ａ一＝２（１＋　另外，当拉格朗日函数中存在绝对值符号或者所给条件中存在绝　对值符号时，在对函数进行求导时，要分情况讨论，所以会非常麻烦。　此时，可以寻找其他的解题方法。下面我们也用例题说明。　代入譬＋２６。　ａ２＋２　故。：一　．］。＝ｌｃ　√６６—２厕　。　例３求函数　＝　＋　一　在区域Ｄ：　＋ｂ，ｌ＜１上的最大值与最　－小值。（莫斯科自动化学院１９７５年竞赛题）　方法一：用拉格朗日乘数法。　由于所给条件存在绝对值符号，所以要分隋况讨论。　首先，在Ｄ的内部：　＋　＜１，由　’　＝２：ｃ—　＝０，　＝ｚｙ一１＝０解　得驻点为Ｐ　（Ｏ，Ｏ）。　其次，在　＋　＝１（０＜ｚ＜１）边界上，作拉格朗Ｅｌ函数　Ｆ＝ｘ。＋　一　＋　（ｚ＋　一１）。　由Ｆ　＝　－ｙ＋２＝０，Ｆｙ　＝２ｙ～ｚ＋　＝Ｏ，Ｆ＾　＝ＣＣ＋　一１：ｏ　即（１一√　）。ａ。＋３２ａ　＝４（１一、ｆ丽）。。　Ｊ６６一ｚ　３４￣ｇ　＞ｏ，６：　：—　所以Ａ～：８［　１６（１一厩）　６６—２√３３　＋　］：２（１＋３－Ｊ￣）。　６６—２√３３　由此司见，利用拉格朗日乘数法求极值有时是比较麻烦的。　方法二：利用均值不等式。　注意到当日，ｂ＞Ｏ时，有均值不等式：ｄ　＋ｂ　≥２ａｂ，本题中出现了　ｎ　，ｂ。，Ｃ　，ａｂ，ｂｃ，ｃａ，因此联想到利用均值不等式求解。　设长方体位于第一象限的顶点坐标为（ａ，ｂ，ｆ　则长方体表面积　为：　Ａ＝８（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）ｏ　．　解得Ｆ的驻点Ｐ２（告，吉）。　同理，在边界Ｙ－－３３＝１，（一１＜ｚ＜０）上，可求得相应的点Ｐ３（　，吉）；　在边界－ｙ—　＝１（一１＜ｚ＜ｏ）上，可求得相应的点户４（－　，　）；在边界　ｚ—　＝１（０＜－ｚ＜１）上，可求得相应的点Ｐ５（吉，　记四个边界线段的交点分别为Ｐ６（１，Ｏ），Ｐ７（Ｏ，１），Ｐ８（一１，Ｏｌｐ９（Ｏ，－１）ｏ　且满足条件：　＋　。＋ｆ　＝１。　由于函数ｚ（ｘ，Ｙ）的最大值与最小值只能在上述９个点　中取得，于是有　＝１，２…．，９）　设０＜　＜１，则　１＝等＋６２－｝－Ｃ２＝［等＋（１～　２］＋［等＋（１—２）ｃ　］＋　６。＋　ｆ　］　ｍａｘｚ＝ｍａｘ｛ｚ（ｐ　淞＝１，２…．，９｝＝ｍａｘ｛Ｏ，毒，　，　１，　，ｌＩｌ，１，１）＝１　，ｍｉｎｚ　ｍｉｎ｛ｚ（ｐｉ￣ｉ＝１，２…．，９）＝ｍｉｎ｛Ｏ，专，　６，　哥，１，１，１，１｝＝０。　方法二：利用绝对值不等式。　由绝对值不等式ａｂ≥　・ｌｂＩ得　ｚＪ　令　Ｊ　ｚＪ　卅２２ｂｃ。　２２，　・　。　一则８２。＋　一ｌ＝０。　＝　＋　一　所以　＝０。　Ｉ＋ｂ，１一Ｉａｌ・ｌｂｌ：（　ｌ一　１）　＋　ｌ・ｂＩＩ≥Ｏ　ｌ　＋ｌｙｌ２＋　Ｉ・ｂ，１＝ｋＫｌ￣ｌ＋ｂ，１）。＋ｌｙｌ　≤　ｌ＋ｂ，Ｉ　４￣３解得２：—－１　＋　＝ｚ。＋　一　所以　曼　二　（ａｂ＋ｂｆ＋ｃ盘）　１）￣ＷｉＮ８（ａｂ＋ｂｆ＋　）　２（１＋√丽　，所以　一＝ｌ。　等号成立时，等　（１一　＝（１一批。，即６　ｃ＝—　亏　方法三：利用对称性。　设长方体位于第一象限的顶点坐标为（口，６，ｃ　则长方体表面积　为：Ａ＝８（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ），且满足条件：竽＋６　十ｆ。＝１。　由等式　＋６。＋ｆ　＝１及所求Ａ＝８（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）知’ｂ和ｃ具有对　称性，所以在取最大值时，必有ｂ＝ｃ。　事实上，设Ｆ（ａ，ｂ，ｃ）＝ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ，则　Ｔｂ＋ｃ，ｃＴ＋ａ）　６＋ｆ）＋　Ｆ，，Ｔｂ＋ｃ，ｃＴ＋ａ）一　）＝　。　＞６ｃ　我们可以看到，方法２相对于方法１来说是非常简单的。所以，在　遇到求极值的问题时，我们不能总是依靠拉格朗Ｅｌ乘数法，应该认真地　分析题目，对于不同形式的题目，思考出更简单的方法。　２．结束语　通过上面的例题，我们可以看出，求极值的方法并不是单一、绝对　的，运用不同的思路就可以用不同的方法解出题目。拉格朗日乘数法　虽然可以解决很多问题，但不一定是最好的解题方法，我们可以综合运　用均值不等式，柯西不等式，琴生不等式等不等式去解决问题，使问题　的解法更加的简单。在高等数学的学习当中，应当时刻牢记知识点之　间并不是孤立的，它们存在着普遍的联系。作为初学者，学生应该尝试　从不同的角度去看同一道题目，这样的训练有利于突破思维的局限性。　参考文献　［１］同济大学数学系．《高等数学》．高等数学教育出版社　［２］李心灿等．《大学生数学竞赛试题解析选编》．机械工业出版社　所以当Ａ取最大值时，必有６＝ｆ，从而　＋２ｂｚ＝１。　（上接第３５页）　设备坚决淘汰，对于需要维修养护的设备要及时、定　时维修和养护，对于要更新的设备也要克服困难进行更新。这样，在建　立部门网站、设计科研管理信息系统等工作时才可以得心应手。这样，　日常管理的自动化、半自动化、规范化才有物质的保障，科研管理效率　才可以提高。　（三）管理人员信息素养培养机制　科研管理深度信息化实现的核心是人，因为无论多么完善的制度、　多么精良的设备，如果没有训练有素的人来执行、来运作，也无益于管　升现有科研管理人员的信息素养水平。如通过定期把科研管理人员派送　到其它院校的信息化专业进行学习，请相关专家来校进行讲座、示范等措　施，全面提高现有管理人员的信息化管理意识、管理水平和管理技能。　参考文献　［１］薛萍．高职院校科研管理信息化建设探讨［Ｉ］．淮海工学院学报　（社会科学版），２０１１（２２）．　［２］张瑞霞．高职院校科研信息化管理探析［＿１］．科技管理研究，２０１０　（２１）．　・　理。提高高职院校科研管理人员的信息素养，可以主要采取两大举　措。首先，学校要克服困难，创造条件，尽量吸纳既具有信息化技术和　知识，又具有管理知识的信息化管理综合型人才，充实到科研管理队伍　中来，并发挥这些人才的带头作用和学科优势，不断提高本校科研管理　深度信息化水平。其次，采用走出去、请进来、自学、传帮带等方式，提　［３］白廷国，兰虹．高职高专院校科研管理信息化问题浅析…．齐齐　哈尔师范高等专科学校学报，２００９（３）．　［４］林娜．高职院校科研管理工作网络化建设的思考［１］．陕西青年　职业学院学报，２００９（２）．　一３７—